(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
zeros → cons(0, n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0, IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
U11(tt, cons(N2498_4, L2499_4)) →+ s(U11(tt, L2499_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [L2499_4 / cons(N2498_4, L2499_4)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X
Types:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
activate,
lengthThey will be analysed ascendingly in the following order:
activate < length
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
U11(
tt,
L) →
U12(
tt,
activate(
L))
U12(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
U21(
tt,
IL,
M,
N) →
U22(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U22(
tt,
IL,
M,
N) →
U23(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
nil) →
0'length(
cons(
N,
L)) →
U11(
tt,
activate(
L))
take(
0',
IL) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
U21(
tt,
activate(
IL),
M,
N)
zeros →
n__zerostake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, length
They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < length
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
U11(
tt,
L) →
U12(
tt,
activate(
L))
U12(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
U21(
tt,
IL,
M,
N) →
U22(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U22(
tt,
IL,
M,
N) →
U23(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
nil) →
0'length(
cons(
N,
L)) →
U11(
tt,
activate(
L))
take(
0',
IL) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
U21(
tt,
activate(
IL),
M,
N)
zeros →
n__zerostake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
length
(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
length(
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(
+(
1,
n17_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n17
0)
Induction Base:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, +(n17_0, 1)))) →RΩ(1)
U11(tt, activate(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0)))) →RΩ(1)
U11(tt, gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) →RΩ(1)
U12(tt, activate(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0)))) →RΩ(1)
U12(tt, gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) →RΩ(1)
s(length(activate(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))))) →RΩ(1)
s(length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0)))) →IH
s(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(12) Complex Obligation (BEST)
(13) Obligation:
TRS:
Rules:
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
U11(
tt,
L) →
U12(
tt,
activate(
L))
U12(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
U21(
tt,
IL,
M,
N) →
U22(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U22(
tt,
IL,
M,
N) →
U23(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
nil) →
0'length(
cons(
N,
L)) →
U11(
tt,
activate(
L))
take(
0',
IL) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
U21(
tt,
activate(
IL),
M,
N)
zeros →
n__zerostake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
Lemmas:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)
Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(14) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)
(15) BOUNDS(n^1, INF)
(16) Obligation:
TRS:
Rules:
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
U11(
tt,
L) →
U12(
tt,
activate(
L))
U12(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
U21(
tt,
IL,
M,
N) →
U22(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U22(
tt,
IL,
M,
N) →
U23(
tt,
activate(
IL),
activate(
M),
activate(
N))
U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
nil) →
0'length(
cons(
N,
L)) →
U11(
tt,
activate(
L))
take(
0',
IL) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
U21(
tt,
activate(
IL),
M,
N)
zeros →
n__zerostake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
Lemmas:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)
Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)
(18) BOUNDS(n^1, INF)